확률 계산기 — 순열·조합·이항분포 계산
확률 계산기는 순열(Permutation), 조합(Combination), 이항분포(Binomial Distribution) 계산을 지원합니다. 경우의 수를 따지는 순열·조합은 확률 문제의 기초이며, 이항분포는 성공 확률 p인 독립 시행을 n번 반복할 때 정확히 k번 성공할 확률을 계산합니다. 수능 확률과통계 과목, 통계학, 데이터 분석 분야에서 필수적인 개념입니다.
순열 P(n,r) = n!/(n−r)!, 조합 C(n,r) = n!/r!(n−r)!입니다. 이항분포 B(n,p)에서 P(X=k) = C(n,k)×p^k×(1−p)^(n−k)입니다.
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계산 공식
순열: P(n,r) = n!/(n−r)! = n×(n−1)×...×(n−r+1)
조합: C(n,r) = n!/(r!×(n−r)!)
이항분포: P(X=k) = C(n,k)×p^k×(1−p)^(n−k)
이항분포 평균: μ = n×p, 분산: σ² = n×p×(1−p)n! = n 팩토리얼 = 1×2×...×n. 0! = 1 정의.
순열과 조합의 차이
순열(Permutation)과 조합(Combination)의 핵심 차이는 순서 고려 여부입니다. 순열은 순서가 중요합니다. 10명 중 3명을 뽑아 회장·부회장·총무를 정할 때 순열을 사용합니다. P(10,3) = 10×9×8 = 720. 조합은 순서와 무관합니다. 10명 중 3명을 뽑아 대표를 정할 때 조합을 사용합니다. C(10,3) = 720/6 = 120. P(n,r) = r!×C(n,r) 관계가 성립합니다. 순열과 조합은 로또 당첨 확률, 카드 게임, 비밀번호 경우의 수, 통계 표본 추출 등 다양한 실생활 문제에 활용됩니다.
이항분포와 베르누이 시행
이항분포는 성공 확률 p인 베르누이 시행(성공/실패 두 가지 결과만 있는 독립 시행)을 n번 반복할 때의 성공 횟수의 분포입니다. 예: 동전 던지기 10번 중 앞면이 정확히 6번 나올 확률 = C(10,6)×(0.5)^6×(0.5)^4 ≈ 0.2051 = 20.51%. 이항분포 B(n,p)의 평균 = n×p, 분산 = n×p×(1−p), 표준편차 = √(n×p×(1−p)). n이 충분히 크고(n≥30), p가 극단적이지 않으면(np≥5, n(1-p)≥5) 정규분포로 근사됩니다. 이항분포는 품질 관리, 의약 임상시험, 선거 여론조사 등에 폭넓게 활용됩니다.
로또 당첨 확률 계산
한국 로또 6/45는 1부터 45까지 숫자 중 6개를 선택하는 복권입니다. 1등(6개 일치) 확률: 1/C(45,6) = 1/8,145,060 ≈ 0.0000123% 입니다. 조합 C(45,6) = 45!/(6!×39!) = 8,145,060. 2등(5개+보너스 1개 일치): C(6,5)×C(39,1)/C(45,6) = 6×39/8,145,060 ≈ 1/34,808. 3등(5개 일치): C(6,5)×C(39,1)/C(45,6)는 2등 분리 전 계산이므로 다릅니다. 로또 1등 당첨 확률은 번개에 맞을 확률(1/600,000~1/1,000,000)보다 약 8~13배 낮습니다.
중복순열·중복조합 개념
원소의 중복 선택을 허용하는 경우의 수도 있습니다. 중복순열: n개 중 중복을 허용하여 r개를 나열하는 방법의 수 = n^r. 예: 0~9 숫자 중 중복 허용하여 4자리 비밀번호를 만드는 경우의 수 = 10^4 = 10,000. 중복조합: n개 중 중복을 허용하여 r개를 선택하는 방법의 수 = C(n+r−1, r). 예: 3종류 음료 중 4잔을 선택하는 방법 = C(3+4−1, 4) = C(6,4) = 15. 중복순열·중복조합은 비밀번호·중복 추출·분배 문제에서 자주 등장합니다.
조건부 확률과 베이즈 정리
조건부 확률 P(A|B)는 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률입니다. P(A|B) = P(A∩B)/P(B). 예: 주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 7개가 있을 때, 두 번 뽑기에서 첫 번째가 빨간 공이었을 때 두 번째도 빨간 공일 확률(비복원) = 2/9. 베이즈 정리: P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B). 의학 진단 검사의 실제 양성 예측도 계산, 스팸 메일 필터링, 기계학습 나이브 베이즈 분류기 등에 활용됩니다.
확률 분포 종류와 활용
수학·통계학에서 다루는 주요 확률 분포를 소개합니다. 이산 확률 분포: 이항분포 B(n,p), 포아송 분포 P(λ), 기하분포, 초기하분포. 연속 확률 분포: 정규분포 N(μ,σ²), t분포, 카이제곱 분포, F분포. 수능 수학(확률과통계) 범위: 순열·조합·이항분포·정규분포(표준화·z점수·정규분포표 활용). 정규분포 N(μ,σ²)는 자연·사회 현상 대부분에 적용 가능하며, 표준화하면 z = (x−μ)/σ로 변환하여 표준정규분포표에서 확률을 조회합니다.
참고 자료 및 공식 출처
- 교육부 — 2022 개정 교육과정 수학과 확률과통계 (moe.go.kr)
- 한국수학교육학회 — 이산수학 교재 (ksme.or.kr)
자주 묻는 질문 (FAQ)
순열과 조합 계산 시 언제 어느 것을 사용하나요?
뽑은 후 순서가 의미 있으면 순열, 순서가 무관하면 조합입니다. 반장·부반장 선출은 순열, 대표팀 3명 선발은 조합입니다.
C(10,0)과 C(10,10)은 얼마인가요?
둘 다 1입니다. C(n,0) = n!/(0!×n!) = 1, C(n,n) = n!/(n!×0!) = 1.
로또 1등 확률은 얼마인가요?
1/C(45,6) = 1/8,145,060 ≈ 0.0000123%로 약 814만분의 1입니다.
이항분포와 정규분포의 관계는?
n이 충분히 크고 p가 0과 1의 중간 근처일 때(np≥5, n(1-p)≥5), 이항분포는 정규분포 N(np, np(1-p))에 근사됩니다.
P(5,3)은 얼마인가요?
P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5×4×3 = 60입니다.
0! = 1인 이유는 무엇인가요?
0! = 1은 팩토리얼의 재귀 정의(n! = n×(n−1)!)를 일관되게 유지하기 위한 수학적 약속입니다. n=1이면 1! = 1×0!이 되어 0! = 1이어야 합니다.